Старт в науке. Решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной Решить в натуральных числах уравнение онлайн

В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными , но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.

Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?

Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.

Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.

Уравнение с двумя неизвестными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение x 2 + 5y 2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);

б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

в) не иметь решений. Например, уравнение x 2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.

Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.

Разложение на множители

Пример 1.

Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.

Решение.

Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:

y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.

Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Равенство нулю неотрицательных чисел

Пример 2.

Решить уравнение: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Решение.

Группируем:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.

А значит, x = 2/3 и y = 3/2.

Ответ: (2/3; 3/2).

Оценочный метод

Пример 3.

Решить уравнение: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Решение.

В каждой скобке выделим полный квадрат:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Оценим значение выражений, стоящих в скобках.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:

(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y – 2) 2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.

Ответ: (-1; 2).

Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной .

Пример 4.

Решить уравнение: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Решение.

Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.

Ответ: (3; 4).

Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные .

Пример 5.

Решить уравнение в целых числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Решение.

Перепишем уравнение в виде x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x 2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.

Ответ: нет корней.

Пример 6.

Решить уравнение: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Решение.

Выделим полные квадраты в каждой скобке:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.

Ответ: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 7.

Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.

Решение.

Выделим полные квадраты:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:

(x – y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.

Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Ответ: -17.

Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Задача 12.

Решите в целых числах 5х²+ 5у² + 8ху + 2у – 2у + 2 = 0 .

Решение.

Если попытаться решить данное уравнение методом разложения на множители, то это достаточно трудоёмкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительн о х 5х²+(8у-2)х+5у²+2у +2=0 , х1,2 = (1 – 4у ±√(1 – 4у) ² - 5(5у² + 2у + 2))/5 = (1 – 4у ±√ -9(у + 1)²)/5.

Данное уравнение имеет решение тогда, когда дискриминант равен нулю, т.е. –9(у + 1) = 0 , отсюда у = -1 . Если у = -1 , то х =1 .

Ответ.

Задача 13.

Решите в целых числах 3(х² + ху + у²)= х + 8у

Решение.

Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х 3х ² + (3у - 1)х + 3у² - 8у = 0. Найдём дискриминант уравнения D = =(3у – 1) ² - 4 * 3(3у² - 8у) = 9у² - 6у + 1 – 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1.

Данное уравн ение имеет корни, если D ³ 0 , т. е. –27у² + 90 у + 1³ 0

(-45 + √2052)/ (-27) £ у £ (-45 -√2052)/ (-27) (4)

Так как у Î Z , то условию (4) удовлетворяют только 0, 1, 2, 3 . Перебирая эти значения, получим, что уравнение в целых числах имеет решения (0; 0) и (1; 1) .

Ответ.

(0; 0) , (1; 1) .

Задача 14.

Решите уравнение 5х² - 2ху + 2у² - 2х – 2у + 1= 0.

Решение.

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно х с коэффициентами, зависящими от у, 5х² - 2(у + 1)х + 2у² – 2у + 1= 0.

Найдём четверть дискриминанта D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)² .

Отсюда следует, что уравнение имеет решение только тогда, когда -(3у – 2)² = 0 , отсюда следует у = ⅔, затем находим х = ⅓.

Ответ.

(⅓; ⅔).

Метод остатков.

Задача 15.

Решите в целых числах 3ª = 1 + у²

Решение.

Видно, что (0; 0) – решение данного уравнения. Докажем, что других решений нет.

Рассмотрим случаи:

1) х Î N, y Î N (5)

Если х Î N , то 3ª делится на 3 без остатка, а у² + 1 при делении на 3 даёт остаток либо 1 , либо 2 . Следовательно, равенство (5) при натуральных значениях х и у невозможно.

2)Если х – целое отрицательное число, y Î Z, тогда 0<3ª<1, а 1+у²³0 и равенство (5)также невозможно. Следовательно, (0; 0) – единственное решение.

Ответ.

Задача 16.

Докажите, что система уравнений

ì х² - у² = 7

î z² - 2y² = 1

не имеет решений в целых числах.

Решение.

Предположим, что система разрешена. Из второго уравнения z²=2у+1, т. е. z²– нечётноё число и z -нечётное, значит z=2m+1 . Тогда y²+2m²+2m , значит, у² - чётное числои у – чётное, y = 2n, n Î Z.

x²=8n³+7, т. е. х² - нечётное число и х - нечётное число, х=2k+1, k Î Z.

Подставим значения х и у в первое уравнение, получим 2(k² + k - 2n³) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2 , а правая нет.

Значит, наше предположение неверно, т.е. система не имеет решений в целых числах.

Метод бесконечного спуска.

Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём–то кончаться.

Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем.

Задача 17.

Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17 (6)

Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные.

у=(17-29х-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13 (7)

Обозначим (4-3x-4z)/13 = t1 (8)

Из (7) следует, что t1 может принимать только целые значения. Из (8) имеем 13t1 + 3x + 4z = 14 (9)

Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (6) коэффициентами. Применим к (9) те же соображения: x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3

(1-t1-z)/3 = t2 , t2 – целое, 3t2+t1+z = 1 (10)

В (10) коэффициент при z – неизвестном исходного уравнения равен 1 – это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z , x , y через t1 и t2 .

ì z = -t1 – 3t2 + 1

í x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2

î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3

Итак,ì x = -3t1 + 4t2

í y = 11t1 + 4t2 - 3

î z = -t1 – 3t2 + 1

t1, t2 - любые целые числа – все целые решения уравнения (6)

Задача 18.

Решить в целых числах x³ - 3y³ - 9z³ = 0 (11)

Решение.

Видно, что левая часть уравнения (11) не поддаётся никаким преобразованиям. Поэтому исследуя характер целых чисел x³=3(y³-z³). Число x³ кратно 3 , значит и число х кратно 3 , т. е. х = 3х1 (12) Подставим (12) в (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0 (13)

y³=3(3x1³-z³). Тогда у³ кратно 3 , значит и у кратно 3 , т. е. у=3у1 (14). Подставим (14) в (13) 9х1³ -27у1³ - 3z³=0 . Из этого уравнения следует, что z³ кратно 3, а значит и z кратно 3 , т.е. z=3z1 .

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (11), кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3 , получаем числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0)

1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными

1. Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными

1. Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными

Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М

1. Программа №1 (уравнения с одним неизвестным)

ВВЕДЕНИЕ

Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.

1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным

Пусть коэффициенты уравнения

будет целым числом только в том случае, когда

С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение

Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами

решается легко. Действительно, пусть

Из последнего равенства видно, что

только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень

в целых числах неразрешимо.

Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

и может иметь целые решения только в том случае, когда

коэффициенты которого

Рассмотрим сначала случай, когда

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Саврушская средняя общеобразовательная школа

Похвистневский район Самарская область

Реферат по математике на тему:

«Уравнения с двумя

неизвестными

в целых числах »

Выполнили: Колесова Татьяна

Староверова Нина

у ченицы 10 класса

МОУ Саврушская СОШ

Похвистневского района

Самарской области.

Руководитель: Ятманкина Галина Михайловна

учитель математики.

Савруха 2011

Введение._______________________________________________3

1. Историческая справка _______________________________________5

1.1 Теоремы о числе решений линейных диофантовых уравнений___6

1.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах_________________ 6

1.3 Способы решения уравнений_______________________________ 7

Глава 2. Применение способов решения уравнений.

1. Решение задач_____________________________________________ 8

2.1 Решение задач с помощью алгоритма Евклида________________ 8

2.2 Способ перебора вариантов________________________________ 9

2.3 Метод разложения на множители___________________________ 9

2.4 Метод остатков__________________________________________ 12

2. Задачи экзаменационного уровня___________________________ 13

Заключение________________________________________________ 16

Список используемой литературы_____________________________ 17

« Кто управляет числами,

Тот управляет миром»

Пифагор.

Введение.

Анализ ситуации: Диофантовы уравнения это актуальная в наше время тема, т. к. решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ.

Изучив разные способы решения квадратного уравнения с одной переменной на уроках, нам было интересно разобраться, а как решаются уравнения с двумя переменными. Такие задания встречаются на олимпиадах и в материалах ЕГЭ.

В этом учебном году одиннадцатиклассникам предстоит сдавать Единый государственный экзамен по математике, где КИМы составлены по новой структуре. Нет части «А», но добавлены задания в часть «В» и часть «С». Составители объясняют добавление С6 тем, что для поступления в технический ВУЗ нужно уметь решать задания такого высокого уровня сложности.

Проблема : Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения.

Цель: Освоить способ решения уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени в целых числах.

Задачи: 1) Изучить учебную и справочную литературу;

2) Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

3) Разобрать алгоритм решения уравнений данного вида;

4) Описать способ решения.

5) Рассмотреть ряд примеров с применением данного приема.

6) Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из

материалов ЕГЭ-2010 С6.

Объект исследования : Решение уравнений

Предмет исследования : Уравнения с двумя переменными в целых числах.

Гипотеза: Данная тема имеет большое прикладное значение. В школьном курсе математики подробно изучаются уравнения с одной переменной и различные способы их решения. Потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие уравнения с двумя переменными. Поэтому повышенное внимание к этой теме не только оправдано, но и является актуальной в школьном курсе математики.

Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научиться решать уравнения такого вида.

Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах.

1. Историческая справка.

Диофант и история диофантовых уравнений .

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года).

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.)

Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.

1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения.

Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении , , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении , и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении , и , то оно равносильно уравнению , в котором .

Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х 0 , у 0

1.2. Алгоритм решения уравнения в целых числах.

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b ,

если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;

если и , то

2. Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором .

3. Найти целое решение (х 0 , у 0 ) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения

где х 0 , у 0 – целое решение уравнения , - любое целое число.

1.3 Способы решения уравнений

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Способ перебора вариантов.

2. Алгоритм Евклида.

3. Цепные дроби.

4. Метод разложения на множители.

5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.

6. Метод остатков.

7. Метод бесконечного спуска.

Глава 2. Применение способов решения уравнений

1. Примеры решения уравнений.

2.1 Алгоритм Евклида.

Задача 1 . Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.

Воспользуемся составленным алгоритмом.

1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:

2816 = 407·6 + 374;

407 = 374·1 + 33;

374 = 33·11 + 11;

Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11

2. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1

3. С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.

256 = 37·6 + 34;

Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.

1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37·11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Таким образом, 37·(– 83) – 256·(–12) = 1, следовательно пара чисел х 0 = – 83 и у 0 = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3.

4. Запишем общую формулу решений первоначального уравнения

где t - любое целое число.

2.2 Способ перебора вариантов.

Задача 2. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?

Решение: Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов, у – число фазанов:

4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Выразим у через х : у = 9 – 2х.

Таким образом, задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Метод разложения на множители.

Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Поэтому покажем еще один прием - метод разложения на множители.

Задача 3. Решить уравнение в целых числах y 3 - x 3 = 91.

Решение. 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(y - x )(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y ||x | + x 2 = (|y | - |x |) 2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:

; ; ;

4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Задача 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

.

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ: .

Задача 5.

Решение. Запишем уравнение в виде

.

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.

Ответ: .

Задача 6. Решить в целых числах уравнение

.

Решение . Запишем данное уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим

.

Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1).Таким образом, получим четыре системы:

Или , или , или .

Решением первой системы является пара чисел х = - 5, у = - 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением являются числа х = 5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = - 13, у = - 6.

Задача 7. Доказать, что уравнение (x - y ) 3 + (y - z ) 3 + (z - x ) 3 = 30 не

имеет решений в целых числах.

Решение. 1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

(x - y )(y - z )(z - x ) = 10…………………………(2)

2) Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Задача 8. Решить уравнение: х 2 - у 2 =3 в целых числах.

Решение:

1. применим формулу сокращенного умножения х 2 - у 2 =(х-у)(х+у)=3

2. найдем делители числа 3 = -1;-3;1;3

3. Данное уравнение равносильно совокупности 4 систем:

Х-у=1 2х=4 х=2, у=1

Х-у=3 х=2, у=-1

Х-у=-3 х=-2, у=1

Х-у=-1 х=-2, у=-1

Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Метод остатков.

Задача 9 . Решить уравнение: х 2 +ху=10

Решение:

1. Выразим переменную у через х: у= 10-х 2

У = - х

2. Дробь будет целой, если х Є ±1;±2; ±5;±10

3. Найдем 8 значений у.

Если х=-1, то у= -9 х=-5, то у=3

Х=1, то у=9 х=5, то у=-3

Х=-2 ,то у=-3 х=-10, то у=9

Х=2, то у=3 х=10, то у=-9

Задача 10. Решить уравнение в целых числах:

2х 2 -2ху +9х+у=2

Решение:

выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени - в данном случае у:

2х 2 +9х-2=2ху-у

У =

выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:

Следовательно, разность 2х-1 может принимать только значения -3,-1,1,3.

Осталось перебрать эти четыре случая.

Ответ : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Задачи экзаменационного уровня

Рассмотрев несколько способов решения уравнений первой степени с двумя переменными в целых числах, мы заметили, что чаще всего применяются метод разложения на множители и метод остатков.

Уравнения, которые даны в вариантах ЕГЭ -2011, в основном решаются методом остатков.

1. Решить в натуральных числах уравнение: , где т>п

Решение:

Выразим переменную п через переменную т

(у+10) 2 < 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(у+6) 2 < 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Ответ: (12; -8)

Заключение.

Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.

В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений.

С уравнениями второй степени сложнее, поэтому мы рассмотрели лишь частные случаи: теорему Пифагора и случаи, когда одна часть уравнения имеет вид произведения, а вторая раскладывается на множители.

Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздки

В дальнейшем мы планируем углубить свое исследование в изучении уравнений с несколькими переменными, которые применяются в решении задач

Литература.

1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Москва « Просвещение» 1985г.

2. Галкин Е.Г. Нестандартные задачи по математике. Челябинск «Взгляд» 2004г.

3. Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами. Челябинск «Взгляд» 2004г.

4. Глейзер Е.И. История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.

5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Москва 2003г.

6. Математика. ЕГЭ 2010. Федеральный институт

педагогических измерений.

7. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение

задач. Москва 1986г.

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A - некоторое множество пар чисел (x ; y ) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

где f (x , y ) – любая функция, отличная от функции

f (x , y ) = ax +by + c ,

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y ) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Ответ : (6 ; 3)

Пример 2 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y ) ,

где y – любое число.

линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y ) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное , имеют вид

g (x , y )

Пример 4 . Решить систему уравнений

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Решая уравнение

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Следовательно,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное , имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g (x , y ) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

Решение . Решим однородное уравнение

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = - 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y 2 = - 20 ,

которое корней не имеет.

В случае, когда

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Ответ : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования.

Главная » Оскар Уайльд » Старт в науке. Решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной Решить в натуральных числах уравнение онлайн